Чему равен квадрат суммы: формула

28.06.2025 в 23:20

Квадрат суммы - это математическое выражение, представляющее результат возведения суммы двух или более слагаемых во вторую степень. Эта формула широко применяется в алгебре и математическом анализе.

Основная формула квадрата суммы

Для двух слагаемых a и b квадрат суммы выражается следующей формулой:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Доказательство формулы

Формула может быть доказана через раскрытие скобок:

1. (a + b)² = (a + b) × (a + b)
2. = a × a + a × b + b × a + b × b
3. = a² + ab + ba + b²
4. = a² + 2ab + b² (поскольку ab = ba)

Геометрическая интерпретация

Обобщение для n слагаемых

Для суммы n слагаемых x₁, x₂, ..., xₙ формула принимает вид:

(x₁ + x₂ + ... + xₙ)² = ∑xᵢ² + 2∑xᵢxⱼ (где i < j)

Пример для трех слагаемых:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Применение формулы квадрата суммы

• Упрощение алгебраических выражений
• Решение квадратных уравнений
• Доказательство математических теорем
• Вычисления в физике и технике
• Оптимизационные задачи в экономике

Примеры вычислений

Ошибки при применении формулы

Частые ошибки, которых следует избегать:

• (a + b)² ≠ a² + b² (не учитывается удвоенное произведение)
• Неверное применение к разности: (a - b)² ≠ a² - b²
• Неправильное возведение коэффициентов в квадрат
• Забывание перекрестных членов при нескольких слагаемых

Связь с другими формулами

Формула квадрата суммы связана с другими алгебраическими тождествами:

Заключение

Формула квадрата суммы является фундаментальным алгебраическим тождеством, которое находит широкое применение в различных разделах математики и ее приложениях. Правильное понимание и применение этой формулы позволяет существенно упрощать вычисления и решать сложные математические задачи.